数学运算上
(注意运算不要算错,看错!!!越简单的题,越要小心陷阱)
一.排列组合问题
1. 能不用排列组合尽量不用。用分步分类,避免错误
2. 分类处理方法,排除法。
例:要从三男两女中安排两人周日值班,至少有一名女职员参加,有(C1/2 *C1/3 +1)种不同的排法?
析:当只有一名女职员参加时,C1/2* C1/3;
当有两名女职员参加时,有1种
3.特殊位置先排
例:某单位安排五位工作人员在星期一至星期五值班,每人一天且不重复。若甲乙两人都不能安排星期五值班,则不同的排班方法共有(3 * P4/4)
析:先安排星期五,后其它。
4. 相同元素的分配(如名额等,每个组至少一个),隔板法。
例:把12个小球放到编号不同的8个盒子里,每个盒子里至少有一个小球,共有(C7/11)种方法。
析:0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ,共有12-1个空,用8-1个隔板插入,一种插板方法对应一种分配方案,共有C7/11种,即所求。
注意:如果小球也有编号,则不能用隔板法。
5. 相离问题(互不相邻)用插空法
例:7人排成一排,甲、乙、丙3人互不相邻,有多少种排法?
析:| 0 | 0 | 0 | 0 |,分两步。第一步,排其它四个人的位置,四个0代表其它四个人的位置,有P4/4种。第二步,甲乙丙只能分别出现在不同的 | 上,有P3/5种,则P4/4 * P3/5即所求。
例:在一张节目表中原有8个节目,若保持原有的相对顺序不变,再增加三个节目,求共有多少种安排方法?
析:思路一,用二次插空法。先放置8个节目,有9个空位,先插一个节目有9种方法,现在有10个空位,再插一个节目有10种方法,现有11种空位,再插一种为11种方法。则共有方法9*10*11。
思路二,可以这么考虑,在11个节目中把三个节目排定后,剩下的8个位置就不用排了,因为8个位置是固定的。因此共有方法P3/11
6. 相邻问题用捆绑法
例:7人排成一排,甲、乙、丙3人必须相邻,有多少种排法?
析:把甲、乙、丙看作整体X。第一步,其它四个元素和X元素组成的数列,排列有P5/5种;第二步,再排X元素,有P3/3种。则排法是P5/5 * P3/3种。
7. 定序问题用除法
例:有1、2、3,...,9九个数字,可组成多少个没有重复数字,且百位数字大于十位数字,十位数字大于个位数字的5位数?
析:思路一:1-9,组成5位数有P5/9。假设后三位元素是(A和B和C,不分次序,ABC任取)时(其中B>C>A),则这三位是排定的。假设B、C、A这个顺序,五位数有X种排法,那么其它的P3/3-1个顺序,都有X种排法。则X*(P3/3-1+1)=P5/9,即X=P5/9 / P3/3
思路二:分步。第一步,选前两位,有P2/9种可能性。第二步,选后三位。因为后三位只要数字选定,就只有一种排序,选定方式有C3/7种。即后三位有C3/7种可能性。则答案为P2/9 * C3/7
8. 平均分组
例:有6本不同的书,分给甲、乙、丙三人,每人两本。有多少种不同的分法?
析:分三步,先从6本书中取2本给一个人,再从剩下的4本中取2本给另一个人,剩下的2本给最后一人,共C2/6* C2/4 * C2/2
例:有6本不同的书,分成三份,每份两本。有多少种不同的分法?
析:分成三份,不区分顺序,是无序的,即方案(AB,CD,EF)和方案(AB,EF,CD)等是一样的。前面的在(C2/6* C2/4 * C2/2)个方案中,每一种分法,其重复的次数有P3/3种。则分法有,(C2/6* C2/4 * C2/2) / P3/3 种分法。
二.日期问题
1.闰年,2月是29天。平年,28天。
2.口诀:
平年加1,闰年加2;(由平年365天/7=52余1得出)。
例:2002年 9月1号是星期日 2008年9月1号是星期几?
因为从2002到2008一共有6年,其中有4个平年,2个闰年,求星期,则:
4X1+2X2=8,此即在星期日的基础上加8,即加1,第二天。
例:2004年2月28日是星期六,那么2008年2月28日是星期几?
4+1=5,即是过5天,为星期四。(08年2 月29日没到)
三.集合问题
1.两交集通解公式(有两项)
公式为:满足条件一的个数+满足条件二的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个数
其中满足条件一的个数是指 只满足条件一不满足条件二的个数 加上 两条件都满足的个数 公式可以画图得出
例:有62名学生,会击剑的有11人,会游泳的有56人,两种都不会用的有4人,问两种都会的学生有多少人?
思路一:两种都会+只会击剑不会游泳+只会游泳不会击剑=62-4
设都会的为T,11-T+56-T+T=58,求得T=9
思路二:套公式,11+56-T=62-4,求得T=9
例:对某小区432户居民调查汽车与摩托车的拥有情况,其中有汽车的共27户,有摩托车的共108户,两种都没有的共305户,那么既有汽车又有摩托车的有多少户?
析:套用公式27+108-T=432-305 得T=8
2.三交集公式(有三项)
例:学校教导处对100名同学进行调查,结果有58人喜欢看球赛,有38人喜欢看戏剧,有52人喜欢看电影。另外还知道,既喜欢看球赛又喜欢看戏剧(但不喜欢看电影)的有6人,既喜欢看电影又喜欢看戏剧(但不喜欢看球赛)的有4人,三种都喜欢的有12人,则只喜欢看电影的人有多少人?
如图, U=喜欢球赛的 + 喜欢戏剧的 + 喜欢电影的
X表示只喜欢球赛的人; Y表示只喜欢电影的人; Z表示只喜欢戏剧的人
T是三者都喜欢的人。即阴影部分。
a表示喜欢球赛和电影的人。仅此2项。不喜欢戏剧
b表示喜欢电影和戏剧的人。仅此2项。不喜欢球赛
c表示喜欢球赛和戏剧的人。仅此2项。不喜欢电影。
A=X+Y+Z,B=a+b+c,A是只喜欢一项的人,B是只喜欢两项的人,T是喜欢三项的人。
则U=喜欢球赛的 + 喜欢戏剧的 + 喜欢电影的 = (x+a+c+T) + (y+a+b+T) + (z+b+c+T)
整理,即
A+2B+3T=至少喜欢一项的人数人
又:A+B+T=人数
再B+3T= 至少喜欢2项的人数和
则
原题解如下:
A+2*(6+4+c)+3*12=58+38+52
A+(6+4+c)+12=100
求得c=14
则只喜欢看电影的人=喜欢看电影的人数-只喜欢看电影又喜欢球赛的人-只喜欢看电影又喜欢看戏剧的人-三者都喜欢的人=52-14-4-12=22人
四.时钟问题
1.时针与分针
分针每分钟走1格,时针每60分钟5格,则时针每分钟走1/12格,每分钟时针比分针少走11/12格。
例:现在是2点,什么时候时针与分针第一次重合?
析:2点时候,时针处在第10格位置,分针处于第0格,相差10格,则需经过10 / 11/12 分钟的时间。
例:中午12点,时针与分针完全重合,那么到下次12点时,时针与分针重合多少次?
析:时针与分针重合后再追随上,只可能分针追及了60格,则分针追赶时针一次,耗时60 / 11/12 =720/11分钟,而12小时能追随及12*60分钟/ 720/11 分钟/次=11次,第11次时,时针与分针又完全重合在12点。如果不算中午12点第一次重合的次数,应为11次。如果题目是到下次12点之前,重合几次,应为11-1次,因为不算最后一次重合的次数。
2.分针与秒针
秒针每秒钟走一格,分针每60秒钟走一格,则分针每秒钟走1/60格,每秒钟秒针比分针多走59/60格
例:中午12点,秒针与分针完全重合,那么到下午1点时,两针重合多少次?
析:秒针与分针重合,秒针走比分针快,重合后再追上,只可能秒针追赶了60格,则秒针追分针一次耗时,60格/ 59/60格/秒= 3600/59秒。而到1点时,总共有时间3600秒,则能追赶,3600秒 / 3600/59秒/次=59次。第59次时,共追赶了,59次*3600/59秒/次=3600秒,分针走了60格,即经过1小时后,两针又重合在12点。则重合了59次。
3.时针与秒针
时针每秒走一格,时针3600秒走5格,则时针每秒走1/720格,每秒钟秒针比时针多走719/720格。
例:中午12点,秒针与时针完全重合,那么到下次12点时,时针与秒针重合了多少次?
析:重合后再追上,只可能是秒针追赶了时针60格,每秒钟追719/720格,则要一次要追60 / 719/720=43200/719 秒。而12个小时有12*3600秒时间,则可以追12*3600/43200/719=710次。此时重合在12点位置上,即重合了719次。
4.成角度问题
例:在时钟盘面上,1点45分时的时针与分针之间的夹角是多少?
析:一点时,时针分针差5格,到45分时,分针比时针多走了11/12*45=41.25格,则分针此时在时针的右边36.25格,一格是360/60=6度,则成夹角是,36.25*6=217.5度。
5.相遇问题
例:3点过多少分时,时针和分针离“3”的距离相等,并且在“3”的两边?
析:作图,此题转化为时针以每分1/12速度的速度,分针以每分1格的速度相向而行,当时针和分针离3距离相等,两针相遇,行程15格,则耗时15 / 1+ 1/12 =180/13分。
例:小明做作业的时间不足1时,他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间?
析:
只可能是这个图形的情形,则分针走了大弧B-A,时针走了小弧A-B,即这段时间时针和分针共走了60格,而时针每分钟1/12格,分针1格,则总共走了60/ (1/12+1)=720/13分钟,即花了720/13分钟。
五.方阵问题
1、方阵外一层总人数比内一层的总人数多8
2、每边人数与该层人数关系是:最外层总人数=(边人数-1)×4
3、方阵总人数=最外层每边人数的平方
4、空心方阵的总人(或物)数=(最外层每边人(或物)数-空心方阵的层数)×空心方阵的层数×4
5、去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数*2-1
例:某校的学生刚好排成一个方阵,最外层的人数是96人,问这个学校共有学生?
析:最外层每边的人数是96/4+1=25,刚共有学生25*25=625
例:五年级学生分成两队参加学校广播操比赛,他们排成甲乙两个方阵,其中甲方阵每边的人数等于8,如果两队合并,可以另排成一个空心的丙方阵,丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人,甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心。五年级参加广播操比赛的一共有多少人?
析:设乙最外边每人数为Y,则丙为Y+4.
8*8+Y*Y+8*8=(Y+4)(Y+4)
求出Y=14,则共有人数:14*14+8*8=260
例:明明用围棋子摆成一个三层空心方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?
析:最外层有(15-1)*4=56个。则里二层为56-8*2=40
应用公式,用棋子(15-3)*3*4=144
六.几何问题
1.公式
补:扇形面积=1/2*r*l 其中r为半径,l为弧长。
2.两三角形,有一角成互补角,或者有一角重合的面积关系。
图1中,Sabc / Scde=BC/CE * AC/CD
图2中,Sabc / Sade=AB/AD * AC/AE (皆可通过作高,相似得到)
例: 如图,三角形ABC的面积为1,并且AE=3AB,BD=2BC,那么△BDE的面积是多少?
Sbde=Sabc * BE/AB * BD/BC =1 * 2 * 2 =4
例: 例4 如下图,将凸四边形ABCD的各边都延长一倍至 A′、B′、 C′、D′,连接这些点得到一个新的四边形A′B′C′D′,若四边形A′B′C′D′的面积为30平方厘米,那么四边形ABCD的面积是多少?
Sa’ad’+Sb’cc’=2*Sabcd
同理Sa’b’b+Sdc’d’=2Sabcd
则Sabcd=30/(2+2+1)=6
3.圆分割平面公式
公式为:N^2-N+2,其中N为圆的个数。
一个圆能把平面分成两个区域,两个圆能把平面分成四个区域,问四个圆能最多把平面分成多少个区域?(4^2-4+2 )
4.最大和最小
(1)等面积的所有平面图形当中,越接近圆的图形,其周长越小。
(2)等周长的所有平面图形当中,越接近圆的图形,其面积越大。
以上两条定理是等价的。
(3)等体积的所有空间图形当中,越接近球体的几何体,其表面积越小。
(4)等表面积的所有空间图形当中,越接近球体的几何体,其体积越大。
以上两条定理是等价的。
例:相同表面积的四面体,六面体,正十二面体及正二十面体,其中体积最大的是:
A 四面体 B 六面体 C 正十二面体 D 正二十面体
析:显然,正二十面体最接近球体,则体积最大。
5.一个长方体形状的盒子长、宽、高分别为20厘米、8厘米和2厘米,现在要用一张纸将其六个面完全包裹起来,要求从纸上剪下的部分不得用作贴补,请问这张纸的大小可能是下列哪一个?( )
A.长25厘米、宽17厘米 B.长26厘米、宽14厘米
C.长24厘米、宽21厘米 D.长24厘米、宽14厘米
析:这种题型首先的思路应该是,先算盒子的总面积=2*(20*8+20*2+8*2)=432,除了C其它都小于432。
七.比例问题、十字相乘法与浓度问题
1.十字相乘法
一个集合中的个体,只有2个不同的取值,部分个体取值为A,剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设A有X,B有(1-X)。则C为1。
得式子,A*X+B*(1-X)=C*1
整理得X=C-B / A-B 1-X=A-C / A-B
则有X : (1-X)=C-B / A-C
计算过程写为
X A C-B
: = C
1-X B A-C (一般大的写上面A, 小的B。)
例:某体育训练中心,教练员中男占90%,运动员中男占80%,在教练员和运动员中男占82%,教练员与运动员人数之比是
析:一个集合(教练员和运动员的男性),只有2个不同的取值,部分个体取值(90%),剩余部分取值为82%,平均值为82%。
教练员 90% 2%
82% = 1:4
运动员 80% 8%
例:某班男生比女生人数多80%,一次考试后,全班平均成级为75 分,而女生的平均分比男生的平均分高20% ,则此班女生的平均分是:
析:男生平均分X,女生1.2X
1.2X 75-X 1
75 =
X 1.2X-75 1.8
得X=70 女生为84
2.浓度问题
溶液的重量=溶质的重量+溶剂的重量
浓度=溶质的质量 / 溶液质量
浓度又称为溶质的质量分数。
关于稀释,加浓,配制。其中混合后的浓度为P.
稀释,一溶液加水,相当于a克P1%的溶液,和b克0%的溶液配制。
P1 P a
P
0 P1-P b
加浓,相当于a克p1%的溶液,和b克100%的溶液配制。
P1 P-100 a
P
100 P1-P b
配制则是a克P1%的溶液,和b克P2%的溶液配制。
可列以下十字相乘:
P1 P-P2 a
P
P2 P1-P b
注:有些题不用十字相乘法更简单。
例:有含盐15%的盐水20千克,要使盐水含盐20%,需加盐多少千克?
析:
15 80 20
20
100 5 b
80/5=20/b 得b=1.25g
例:从装满100g浓度为80%的盐水杯中倒出40g盐水后再倒入清水将杯倒满,这样反复三次后,杯中盐水的浓度是()
A.17.28% B.28.8% C.11.52% D.48%
析:开始时,溶质为80克。第一次倒出40g,再加清水倒满,倒出了盐80*40%,此时还剩盐80*60%。同理,第二次,剩80*60%*60%。第三次,乘80*60%^3=17.28g,即浓度为17.28%
特例:有甲乙两杯含盐率不同的盐水,甲杯盐水重120克,乙杯盐水重80克.现在从两杯倒出等量的盐水,分别交换倒入两杯中.这样两杯新盐水的含盐率相同.从每杯中倒出的盐水是多少克?
析:设甲浓度P1,乙浓度P2。混合后的相等浓度为P.拿出的等量的水为a
则对于甲
P1 P-P2 120-a
P
P2 P1-P a
对于乙
P2 P-P1 80-a
P
P1 P2-P a
则120-a a
: = :
a 80-a
得a=120*80 / 120+80
一般地,对于质量为m1,m2的溶液,也有a=m1*m2 / (m1+m2)
第四部分、数学运算中
八.数、整除、余数与剩余定理
1.数的整除特性
被4整除:末两位是4的倍数,如16,216,936…
被8整除:末三位是8的倍数,如144,2144,3152
被9整除:每位数字相加是9的倍数,如,81,936,549
被1 1整除:奇数位置上的数字和与偶数位置上的数字和之间的差是11的倍数。 如,121,231,9295
如果数A被C整除,数B被C整除,则,A+B 能被C整除 ; A*B也能被C整除
如果A能被C整除,A能被B整除,BC互质,则A能被B*C整除。
例:有四个自然数A、B、C、D,它们的和不超过400,并且A除以B商是5余5,A除以C商是6余6,A除以D商是7余7。那么,这四个自然数的和是:
析:A除以B商是5余5,B的5倍是5的倍数,5是5的倍数,则A是5的倍数,同理A是6的倍数,A是7的倍数,则A为最小公倍数,210,此题得解。
2.剩余定理
原理用个例子解释,一个数除以3余2,那么,这个数加3再除以3,余数还是2.
一个数除以5余3,除以4余3,那么这个数加上5和4的公倍数 所得到的数,除3还是能得到这个结论。
例:一个三位数除以9余7,除以5余2,除以4余3,这样的三位数共有()
析:7是最小的满足条件的数。9,5,4的最小公倍数为180,则187是第二个这样的数,367,547,727,907共5个三位数。
例:有一个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人,每5人一排多2人,问这个年级至少有多少人?
析:题目转化为,一个数除以9余5,除以7余1,除以5除2。第一步,从最大的数开刀,先找出除以9余5的最小数,14。 第二步,找出满足每9人一排多5人,每7人一排多1人的最小的数。14除以7不余1;再试14+9这个数,23除以7照样不余1;数取14+9*4时,50除以7余1,即满足每9人一排多5人,每7人一排多1人的最小的数是,50; 第三步,找符合三个条件的。50除以5不余2,再来50+63(9,7的最小公倍数)=123,除5仍不余2;再来,50+126,不余2;……当50+63*4时,余2,满足3个条件,即至少有302个人。
例:自然数P满足下列条件:P除以10的余数为9,P除以9的余数为8,P除以8的余数为7.如果100<P<1000,则这样的P有几个?
析:此题可用剩余定理。但有更简单的,
P+1是10的倍数
P+1是9的倍数
P+1是8的倍数
1-1000内,10,9,8的公倍数为,360,720,则P为359,719。
3.84*86=?
出现如AB*AC=?,其中B+C=10,计算结果为:百位数为A(A+1),十位/个位数为:B*C。注:如果B*C小于10,用0补足。如:29*21,百位数为2*3=6,个倍数为1*9=9,则结果为609.
4.根号3,3次根号下5,哪个小?
这类题,关键是用一个大次的根号包住两个数。一个是2次根号,一个是3次根号,则应该用6次根号包住它们。根号3,可以化成6次根号下27;3次根号下5,可化为6次根号下25,则根号3大于3次根号下5.
九.等差数列
性质:
(1)等差数列的平均值等于正中间的那个数(奇数个数或者正中间那两个数的平均值(偶数个数)
(2)任意角标差值相等的两个数之差都相等,即
A(n+i)-An=A(m+i)-Am
例:{an}是一个等差数列,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,则数列前13项之和是:
A3-a10=A4-A11=-4 这道题应用这两个性质可以简单求解。
因此A7=8+4=12,而这13个数的平均值又恰好为正中间的数字a7,因此这13个数的和为 12×13=156
十.抽屉问题
解这类题的关键是,找出所有的可能性,然后用最不利的情况分析。
例:一个布袋中由35个同样大小的木球,其中白、黄、红三种颜色球各有10个,另外还有3个蓝色球、2个绿色球,试问一次至少取出多少个球,才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球?
析:最不利的情况是,取出3个蓝色球,又取了2个绿色球,白、黄、红各取3个,这个时候再取一个就有4个是同一颜色的球了。即取:3+2+3*3+1=15个球。
例:从1、2、3、4……、12这12个自然数中,至少任选几个,就可以保证其中一定包括两个数,他们的差是7? 重点
析:考虑到这12个自然数中,满足差为7的组合有,(12,5),(11,4),(10,3),(9,2),(8,1),共五种,还有6,7两个数没有出现过,则最不幸的情况就是,(12,5)等都取了一个,即五个抽屉取了五个,还有6,7各取一个,再取一个就有两个数差为7了,则取了5+2+1=8个。
例:学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班,每个学生最多可以参加两个(可以不参加)。问:至少有多少名学生,才能保证有不少于5名同学参加学习班的情况完全相同
析:不同的情况有,都不参加、参加语文、参加数学、参加美术、参加语文和数学、参加语文和美术、参加数学和美术,最不幸的情况是,4组人都参加了这7项,共28项,这样,再加入1人,即29人时,满足题意。
十一.函数问题
这种题型,土方法就是找一个简单的数代入。
X^3+Y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)
1. 求值
例:已知f(x)=x^2+ax+3,若f(2+x)=f(2-x),则f(2)是多少?
析:既然f(2+x)=f(2-x),当x=2时,方程成立,即f(4)=f(0),求得a=-4,得解。
例:f(x*y)=f(x)*f(y);f(1)=0,求f(2008)=?
析:f(2008*1)=f(2008)*f(1)=0
例:f(x+1)= -1/f(x),f(2)=2007.f(2007)=?
析:f(3)=-1/f(2)=1/2007,f(4)=-1/-1/2007=2007,f(5)=-1/2007,则f(2007)=-1/2007
例:f(2x-1)=4*X^2-2x,求f(x)
析:设2x-1=u,则x=u+1 / 2,则f(u)=4* ((u+1)/2)^2-2*(u+1)/2 =u^2+u 所以f(x)=x^2+x
2.求极值
例:某企业的净利润y(单位:10万元)与产量x(单位:100万件)之间的关系为y=-x^2+4*x+1,问该企业的净利润的最大值是多少万元?( )
A. 10 B.20 C.30 D.50
析:y=-(x-2)^2+5,则y最大值为5。净利润为50万元。可以配方的。
例:某企业的净利润y(单位:10万元)与产量x(单位:100万件)之间的关系为y=-1/3x^3+x^2+11/3,问该企业的净利润的最大值是多少万元?( )
A 5 B 50 C 60 D70
析:这道题要求导,公式忘光了, y=-1/3*3*x^2+2*x+0=0,解得x=2,则代入y得5。求导公式好像是-1/3x^3=3*(-1/3)*x^2,常数为0。不能配方的,极值试求导,不会做只能放弃。
十二、比赛问题
1. 100名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛,要产生男女冠军各一名,则要安排单打赛多少场?( )
【解析】在此完全不必考虑男女运动员各自的人数,只需考虑把除男女冠军以外的人淘汰掉就可以了,因此比赛场次是100-2=98(场)。
2. 某机关打算在系统内举办篮球比赛,采用单循环赛制,根据时间安排,只能进行21场比赛,请问最多能有几个代表队参赛?( )
【解析】根据公式,采用单循环赛的比赛场次=参赛选手数×(参赛选手数-1)/2,因此在21场比赛的限制下,参赛代表队最多只能是7队。
3. 某次比赛共有32名选手参加,先被平均分成8组,以单循环的方式进行小组赛;每组前2名队员再进行淘汰赛,直到决出冠军。请问,共需安排几场比赛?( )
【解析】 根据公式,第一阶段中,32人被平均分成8组,每组4个人,则每组单循环赛产生前2名需要进行的比赛场次是:4×(4-1)÷2=6(场),8组共48场;第二阶段中,有2×8=16人进行淘汰赛,决出冠军,则需要比赛的场次就是:参赛选手的人数-1,即15场。最后,总的比赛场次是48+15=63(场)。
4. 某学校承办系统篮球比赛,有12个队报名参加,比赛采用混合制,即第一阶段采用分2组进行单循环比赛,每组前3名进入第二阶段;第二阶段采用淘汰赛,决出前三名。如果一天只能进行2场比赛,每6场需要休息一天,请问全部比赛共需几天才能完成?( )
【解析】 根据公式,第一阶段12个队分成2组,每组6个人,则每组单循环赛产生前2名需要进行的比赛场次是:6×(6-1)÷2=15(场),2组共30场;第二阶段中,有2×3=6人进行淘汰赛,决出前三名,则需要比赛的场次就是:参赛选手的人数,即6场,最后,总的比赛场次是30+6=36(场)。 又,“一天只能进行2场比赛”,则36场需要18天;“每6场需要休息一天”,则36场需要休息36÷6-1=5(天),所以全部比赛完成共需18+5=23(天)。
比赛赛制
在正规的大型赛事中,我们经常听到淘汰赛或者循环赛的提法,实际上这是两种不同的赛制,选手们需要根据事前确定的赛制规则进行比赛。我们先谈谈两者的概念和区别。
1. 循环赛:就是参加比赛的各队之间,轮流进行比赛,做到队队见面相遇,根据各队胜负的场次积分多少决定名次。
循环赛包括单循环和双循环。
单循环是所有参加比赛的队均能相遇一次,最后按各队在全部比赛中的积分、得失分率排列名次。如果参赛选手数目不多,而且时间和场地都有保证,通常都采用这种竞赛方法。
单循环比赛场次计算的公式为: 由于单循环赛是任意两个队之间的一场比赛,实际上是一个组合题目,就是C(参赛选手数,2),即:单循环赛比赛场次数=参赛选手数×(参赛选手数-1 )/2
双循环是所有参加比赛的队均能相遇两次,最后按各队在两个循环的全部比赛中的积分、得失分率排列名次。如果参赛选手数目少,或者打算创造更多的比赛机会,通常采用双循环的比赛方法。
双循环比赛场次计算的公式为:由于双循环赛是任意两队之间比赛两次,因此比赛总场数是单循环赛的2倍,即:双循环赛比赛场次数=参赛选手数×(参赛选手数-1 )
2. 淘汰赛:就是所有参加比赛的队按照预先编排的比赛次序、号码位置,每两队之间进行一次第一轮比赛,胜队再进入下一轮比赛,负队便被淘汰,失去继续参加比赛的资格,能够参加到最后一场比赛的队,胜队为冠军,负队为亚军。
淘汰赛常需要求决出冠(亚)军的场次,以及前三(四)名的场次。
决出冠(亚)军的比赛场次计算的公式为:由于最后一场比赛是决出冠(亚)军,若是n个人参赛,只要淘汰掉n-1个人,就可以了,所以比赛场次是n-1场,即:淘汰出冠(亚)军的比赛场次=参赛选手数-1;
决出前三(四)名的比赛场次计算的公式为:决出冠亚军之后,还要在前四名剩余的两人中进行季军争夺赛,也就是需要比只决出冠(亚)军再多进行一场比赛,所以比赛场次是n场,即:淘汰出前三(四)名的比赛场次=参赛选手数。
第六部分、数字运算下
十三.其它问题
1.工程问题中的木桶原理
例:一项工作,甲单独做需要14天,乙单独做需要18天,丙丁合做需要8天。则4人合作需要( )天?
A、4 B、 5 C、6 D、7
析:丙丁合做需要8天,则丙丁平均效率16天,这里最差的18天,则四人做最差也只要4.5天,则选4。
例:一项工作由编号为1~6的工作组来单独完成,各自完成所需的时间是:5天,7天,8天,9天,10.5天,18天。现在将这项工作平均分配给这些工作组来共同完成。则需要( )天?
A、2.5 B、3 C、4.5 D、6
析:平均分配给这些人做,则每人做1/6,需要的天数由最差效率的人决定。则需1/6 / 1/18 =3
2.年龄问题多用代入法
母亲现在的年龄个位数跟十位数对调就是女儿的年龄。再过13年 母亲的年龄就是女儿年龄的2倍。则母亲年龄是( )
A、52 B、42 C、41 D、44
析:此题不用列方程,直接代入即可。另一种方法是,母亲现在的年龄加上13是偶数,则现在年龄是奇数。
3.3000页码里含有多少个2?
析:1-99里有20个2,100-199有20个2。0-999中,除了200-299有100+20个2以外,每100都有20个2,则0-999共有2:120+9*20=300
同理:3000-3999也有300个2
考虑2000-2999,因为0-999含有300个2,这1000个数里,每个数其实都多加了一个2,则应该含有1000+300个2。
则共有2:1300+300+300。
一般地:
001-099有20个N(N表示1-9的任何数)
100-199有20个N(N不能等于1)
200-299有20个N(N不能等于2)
……
0000-0999有300个N,
1000-1999有300个N(N不能等于1)
2000-2999有300个N(N不能等于2)
……
00000-09999有4000个N
10000-19999有4000个N(N不能等于1)
100000-199999有50000个N(N不能等于1)
900000-999999有50000个N(N不能等于9)
而:
100-199有120个1
1000-1999有1300个1
2000-2999有1300个2
10000-19999有14000个1
100000-199999有150000个1。
则此题中:
思路1:0-999含2为300个,1000-1999含2为300个;2000-2999含2为1300个。则共有1900个2。
思路2:0-3000中,百位以下(含百位)含2为,3*300=900,千位含2为1000个。则共有1900个2。
例:一本1000页的书有多少个1?
析:1000页书中,0-999页有300个1,1000又有1个1,则共有301个1。
例:一本10000页的书有多少个1?
析:0-9999有4000个1,加上10000的一个1,则为4001个1。
例:3000页的书有多少个3?
析:0-999有300个3,1000-1999有300个3,2000-2999有300个3,3000有1个3,则3*300+1=901页
4.1000页码里有多少页含1?
析:此题与上题不同,问的是页数。则因为总共有301个1,其中重复计算的111中的2个1,9个1X1,11X中9个1,X11有9个1,共有29个1,则有272个含1的。
思路2:00-99中,含1的页码有10+9。则200-299,300-399……900-999,共有1的页码是:19*8。在100-199中,含1页码为100,加上第1000页,共有页码:19+19*8+100+1=272页。
5.三人隔不同时间的相遇
例:甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书,甲每隔5天去一次,乙每隔11天去一次,丙每隔17天去一次,丁每隔29天去一次。如果5月18日他们四个人在图书馆相遇,问下一次四个人在图书馆相遇是几月几号?
A.10月18日 B.10月14日 C.11月18日 D.11月14日
析:0 0 0 0 0 0 0,这是隔5天,实际上第一次(5月18日)相遇那天,过了6天,甲又去借书,再过6天又去借书,也就是过6的倍数天去借书。同理,乙是12倍数,丙是18倍数,丁是30倍数,最小公倍数是180,即过了180天,因为有小于31的,一定选D.
注:数学运算题型众多,本文并未全部涉及。欲继续加强这部分的朋友,可以通过历年真题+小学奥数题本学习。 |